Metafísica - Livro XIII 8

Livro XIII (Mi): crítica aos números e objetos matemáticos como substâncias, e às Formas

Por que a teoria dos números ideais não consegue explicar de onde vêm os números nem como eles se distinguem

Antes de tudo, convém definir qual é a diferença entre um número e outro, e entre uma unidade e outra, caso haja alguma diferença. As unidades só poderiam se distinguir pela quantidade ou pela qualidade, e nenhuma dessas duas opções parece possível. O número, enquanto número, distingue-se pela quantidade. Mas se as unidades também se distinguissem em quantidade, então um número seria diferente de outro mesmo tendo a mesma quantidade de unidades. Além disso, teríamos de perguntar: as primeiras unidades são maiores ou menores que as seguintes? E essas seguintes aumentam ou diminuem? Tudo isso são suposições sem sentido.
Aristóteles continua atacando a teoria platônica de que os números são Ideias eternas que existem por conta própria. Aqui ele faz uma pergunta básica: o que faz uma unidade (um simples 1) ser diferente de outra? Se elas não se distinguem em nada, então não são vários uns, são o mesmo um repetido.Ele aponta uma armadilha: se as unidades se distinguissem pela quantidade, dois números com a mesma quantidade de unidades acabariam sendo números diferentes, o que é absurdo. A ideia de unidades 'maiores' ou 'menores' não faz sentido, porque toda unidade é simplesmente um.
As unidades também não podem se distinguir pela qualidade, pois nenhuma propriedade pode se prender a elas. Afinal, dizem que até nos números a qualidade só vem depois da quantidade. E essa qualidade não poderia vir nem do 1 nem da díade (o par), pois o 1 não tem qualidade alguma, e a díade só dá quantidade, já que é justamente ela que faz as coisas serem muitas. Se na verdade as coisas são diferentes disso, os defensores dessa teoria deveriam dizê-lo logo no início e explicar, se possível, por que tem de existir uma diferença entre as unidades; e, se não conseguirem explicar, ao menos dizer que tipo de diferença é essa.
A díade, palavra grega para a dupla ou o par, era na teoria platônica um dos dois princípios primeiros: o 'grande e pequeno', uma espécie de matéria indefinida que, junto com o Uno (o 1), gerava todos os números. Aristóteles diz que dela só sai quantidade (o muito), nunca qualidade.O recado final é uma cobrança: se os platônicos acham que as unidades têm sim alguma diferença entre si, que expliquem qual é e por que ela precisa existir, em vez de só supor.
Fica claro, então, que se as Ideias são números, as unidades não podem ser todas combináveis entre si, mas também não podem ser incombináveis de nenhum dos dois modos. Mas o modo como outros pensadores falam dos números também não é correto. São aqueles que não acreditam que existam Ideias, nem de forma simples nem identificadas com certos números, mas acreditam que os objetos da matemática existem e que os números são as primeiras de todas as coisas que existem, e que o 1 em si é o ponto de partida deles.
'Combináveis' aqui significa unidades que podem ser somadas e misturadas livremente, como na conta comum (1 mais 1 dá 2). Na teoria platônica, as unidades de um número ideal não se misturavam com as de outro, eram 'incombináveis'. Aristóteles está fechando o cerco: nenhuma das versões dessa ideia funciona.Agora ele muda de alvo. Passa a criticar Espeusipo e os matemáticos que negam as Ideias, mas mesmo assim acham que os números existem por si mesmos e são as primeiras de todas as coisas reais. Espeusipo era sobrinho de Platão e o sucedeu na direção da Academia.
É estranho que exista um 1 que é o primeiro dos uns, como eles dizem, mas não exista um 2 que seja o primeiro dos dois, nem um 3 que seja o primeiro dos três; afinal, o mesmo raciocínio vale para todos. Se as coisas com relação ao número são assim, e supomos que só existe o número da matemática, então o 1 não é o ponto de partida; pois esse tipo de 1 teria de ser diferente das outras unidades, e, se é assim, teria de haver também um 2 que é o primeiro dos dois, e do mesmo modo com os números seguintes.
O argumento é de coerência: se você admite um 1 que é o primeiro e a origem de todos os uns, o mesmo raciocínio deveria valer para um 2 que é o primeiro dos dois e um 3 que é o primeiro dos três. Não dá para usar a regra só quando convém.
Mas se o 1 é o ponto de partida, então a verdade sobre os números teria de ser antes o que Platão costumava dizer: teria de haver um primeiro 2 e um primeiro 3, e os números não poderiam ser combináveis uns com os outros. Só que, se supomos isso, seguem-se muitos resultados impossíveis, como já dissemos. Ora, uma das duas alternativas tem de ser verdadeira; de modo que, se nenhuma delas é, o número não pode existir separado das coisas.
Aristóteles mostra que o adversário fica encurralado: ou abandona o 1 como ponto de partida, ou aceita a posição de Platão (com números ideais incombináveis), que ele já mostrou levar a 'resultados impossíveis'. Qualquer caminho dá em beco sem saída, então o número não existe separado das coisas.
Disso fica evidente também que a terceira versão é a pior de todas, ou seja, a opinião de que o número ideal e o número da matemática são a mesma coisa. Pois nessa única opinião juntam-se dois erros. Primeiro, o número da matemática não pode ser desse tipo, e quem defende essa visão tem de se virar inventando suposições só dele. Segundo, ele ainda é obrigado a aceitar todas as consequências que recaem sobre quem fala do número no sentido de Formas.
A 'terceira versão' é a de Xenócrates, outro líder da Academia, que tentava fundir as duas teorias dizendo que o número ideal e o número da matemática são a mesma coisa. Aristóteles a considera a pior porque junta os defeitos das duas: herda os problemas dos números-Formas e ainda precisa inventar remendos próprios.
A versão dos pitagóricos, por um lado, traz menos dificuldades do que as que já citamos, mas, por outro, tem dificuldades próprias. O fato de não pensarem o número como capaz de existir separado das coisas elimina muitas das consequências impossíveis. Mas é impossível que os corpos sejam compostos de números, e que esse número seja o número da matemática.
Os pitagóricos eram seguidores de Pitágoras (século VI a.C.), que ensinavam que tudo no mundo é feito de números. A vantagem deles, para Aristóteles, é que não separavam os números das coisas, o que evita vários absurdos. O problema é a outra metade da doutrina: dizer que os corpos físicos são literalmente compostos de números.
Não é correto falar em grandezas que ocupam espaço e ao mesmo tempo são indivisíveis. E mesmo que houvesse grandezas desse tipo, as unidades pelo menos não têm tamanho; então como uma grandeza poderia ser composta de coisas sem tamanho? Mas o número da aritmética, ao menos, é feito de unidades, enquanto esses pensadores identificam o número com as coisas reais; de qualquer modo, eles aplicam suas afirmações aos corpos como se os corpos fossem feitos desses números.
O argumento é direto: número se conta com unidades, e a unidade não tem tamanho nenhum. Como juntar coisas sem tamanho poderia produzir um corpo, que ocupa espaço e tem grandeza? De nada, por mais que você empilhe, não sai algo. Por isso a tese pitagórica de corpos feitos de números não se sustenta.
Se é necessário, então, que o número, sendo uma coisa real que existe por si mesma, exista de um destes modos que mencionamos, e se ele não pode existir de nenhum deles, fica evidente que o número não tem a natureza que lhe atribuem aqueles que o tratam como algo separado.
Aqui Aristóteles fecha a varredura: examinou todos os modos possíveis de o número existir separado das coisas (como Ideia, como objeto matemático autônomo, fundindo os dois, ou ao modo pitagórico) e mostrou que nenhum funciona. Conclusão: o número não tem a existência independente que essas escolas lhe atribuem.
Vejamos outro problema. Cada unidade vem do grande e do pequeno, equilibrados, ou uma unidade vem do pequeno e outra do grande? Se for o segundo caso, então nem cada coisa contém todos os elementos, nem as unidades são iguais entre si; pois numa há o grande e noutra há o pequeno, que por natureza é o contrário do grande. E como ficam as unidades dentro do próprio 3? Uma delas sobra como unidade ímpar. Talvez seja por isso que eles dão ao 1 em si o lugar do meio nos números ímpares.
Recapitulando o pano de fundo: na teoria platônica, cada unidade nasceria dos dois princípios, o Uno e o 'grande e pequeno' (a díade). Aristóteles pergunta como exatamente isso aconteceria e mostra que toda resposta cria problema. Se cada unidade puxa só um lado (uma o grande, outra o pequeno), as unidades deixam de ser iguais entre si, o que contradiz a própria teoria.
Mas se cada uma das duas unidades é feita do grande e do pequeno equilibrados, como é que o 2, sendo uma coisa só, vai ser feito do grande e do pequeno? Ou em que ele vai diferir da unidade? Além disso, a unidade vem antes do 2, pois, quando ela é destruída, o 2 também é destruído. A unidade teria, então, de ser a Ideia de uma Ideia, já que vem antes de uma Ideia, e teria de ter surgido antes dela. Mas surgido a partir de quê? Não da díade indefinida, pois a função desta era dobrar.
O problema da prioridade: se a unidade vem antes do 2 (some a unidade e o 2 some junto), então ela seria mais fundamental que o 2. Mas, na teoria deles, o 2 é gerado primeiro, pela díade que 'dobra'. Aristóteles os pega na contradição: a unidade não pode vir antes e depois ao mesmo tempo.
Vejamos ainda outro ponto. O número tem de ser ou infinito ou finito, pois esses pensadores pensam o número como capaz de existir separado, de modo que não é possível que nenhuma das duas alternativas seja verdadeira. É claro que ele não pode ser infinito, pois um número infinito não é nem ímpar nem par, mas a geração dos números é sempre a geração de um número ímpar ou de um número par. De um modo, quando o 1 atua sobre um número par, produz-se um número ímpar; de outro modo, quando o 2 atua, produzem-se os números obtidos do 1 por duplicação; de outro modo ainda, quando os números ímpares atuam, produzem-se os demais números pares.
Aqui ele lança um dilema clássico, dividir em duas opções e mostrar que nenhuma serve. O número tem de ser finito ou infinito. Infinito ele descarta, porque todo número concreto é par ou ímpar, e um suposto 'número infinito' não seria nem um nem outro, logo não seria de fato um número gerado pelas regras deles.
Além disso, se toda Ideia é Ideia de alguma coisa, e os números são Ideias, então o próprio número infinito seria a Ideia de alguma coisa, seja de algo sensível, seja de outra coisa qualquer. Mas isso não é possível dentro da tese deles, e nem é razoável em si mesmo, ao menos se eles organizam as Ideias do modo como organizam.
Mais um golpe contra a opção 'número infinito'. Se todo número é uma Ideia, e toda Ideia é Ideia de alguma coisa (o modelo do que aquela coisa é), então um número infinito teria de ser a Ideia de algo. Mas não existe coisa nenhuma da qual ele seja modelo, então essa opção também cai.
Mas se o número é finito, até onde ele vai? Aqui não basta afirmar o fato, é preciso dar também a razão. Se o número vai só até o 10, como alguns dizem, em primeiro lugar as Formas logo vão acabar. Por exemplo, se o 3 é o homem em si, que número será o cavalo em si? A série dos números que são as próprias coisas vai só até o 10. O cavalo teria, então, de ser um dos números dentro desses limites, pois são eles que são as substâncias e as Ideias. Mesmo assim os números vão faltar, pois as várias espécies de animais são em maior número do que eles.
Agora ele ataca a outra ponta do dilema: número finito. Os platônicos limitavam a série fundamental ao 10 (a 'dezena' ou década, tida como número perfeito). Aristóteles mostra a falha contando: se o homem em si é o número 3, faltam números para o cavalo, o boi e as incontáveis espécies de animais. Dez Formas não dão conta da variedade do mundo.
Ao mesmo tempo, fica claro que, se desse modo o 3 é o homem em si, os outros números 3 também o são (pois os que estão em números idênticos são semelhantes), de modo que haverá um número infinito de homens; se cada 3 é uma Ideia, cada um dos números será o homem em si, e, se não for, serão ao menos homens. E se o número menor é parte do número maior (sendo número de um tipo em que as unidades dentro do mesmo número são combináveis), então, se o 4 em si é a Ideia de alguma coisa, por exemplo de cavalo ou de branco, o homem virá a ser parte do cavalo, caso o homem seja o 2 que está contido no 4. É estranho também que haja uma Ideia do 10, mas não do 11, nem dos números seguintes.
O raciocínio fica vertiginoso de propósito, para expor o absurdo: como existem infinitos grupos de três coisas no mundo, haveria infinitos 'homens em si', e o homem acabaria virando parte de um cavalo por puro jogo de números (o 2 cabe dentro do 4). E é arbitrário parar no 10: por que haveria Ideia do 10 mas não do 11? (No fim deste verso reconstruí um trecho que vinha embaralhado no texto-fonte por fusão de colunas; ver nota ao final.)
Além disso, existem e passam a existir certas coisas das quais não há Formas; por que, então, não há Formas dessas coisas também? Concluímos daí que as Formas não são as causas das coisas. E é estranho que a série dos números até o 10 seja mais real e mais uma Forma do que o próprio 10. A série até o 10 não é gerada como uma coisa única, mas o 10 é gerado. Apesar disso, eles tentam trabalhar com a suposição de que a série dos números até o 10 é uma série completa.
Dois golpes secos. Primeiro: existem coisas comuns sem nenhuma Forma correspondente, então as Formas não explicam por que as coisas existem, ou seja, não são as causas delas. Segundo: é incoerente dizer que a sequência 1-2-3 até 9 é 'mais real' que o próprio 10, sendo que é o 10 que eles tratam como gerado e completo.
Pelo menos eles geram as coisas derivadas (por exemplo, o vazio, a proporção, o ímpar e outras desse tipo) dentro da dezena. Algumas coisas, como o movimento e o repouso, o bem e o mal, eles atribuem aos princípios originários, e as outras coisas atribuem aos números. É por isso que identificam o ímpar com o 1; pois, se o ímpar dependesse do 3, como o 5 seria ímpar? Eles também explicam as grandezas que ocupam espaço e tudo desse tipo sem passar de um número definido. Por exemplo, primeiro a linha, que é o indivisível, depois o 2 e assim por diante; e essas coisas também vão só até o 10.
Os pitagóricos e platônicos encaixavam tudo dentro da dezena: davam um número para o vazio, para a proporção, para o ímpar, e reservavam pares de opostos (movimento e repouso, bem e mal) aos princípios primeiros. Aristóteles está mostrando o quanto a teoria precisa forçar a barra para fazer a realidade caber em dez números.O detalhe do 1 ímpar: eles identificavam o ímpar com o 1 porque, se o ímpar dependesse do 3, o número 5 não poderia ser ímpar. É o tipo de remendo lógico que Aristóteles expõe para mostrar a fragilidade do sistema.
Mais uma questão: se o número pode existir separado, alguém poderia perguntar qual vem antes, o 1, o 3 ou o 2? Enquanto o número é composto, o 1 vem antes; mas enquanto o universal e a forma vêm antes, é o número que vem antes; pois cada uma das unidades é parte do número como sua matéria, e o número faz o papel de forma.
Última grande objeção, sobre o que vem antes: a unidade (o 1) ou o número inteiro? Aristóteles usa duas noções de 'antes'. Como matéria (o tijolo que compõe), a unidade vem antes, pois o número é feito de unidades. Como forma (a estrutura que define o todo), o número vem antes. São prioridades de tipos diferentes.
De modo parecido, em certo sentido o ângulo reto vem antes do ângulo agudo, porque é definido e existe em razão da sua definição; mas em outro sentido o agudo vem antes, porque é uma parte e o ângulo reto se divide em ângulos agudos. Como matéria, então, o ângulo agudo, o elemento e a unidade vêm antes; mas quanto à forma e à substância expressa na definição, vêm antes o ângulo reto e o todo formado de matéria e forma. Pois a coisa concreta está mais perto da forma e do que se expressa na definição, ainda que na ordem da geração ela venha depois.
Ele ilustra com geometria. O ângulo reto (o de 90 graus, o ângulo do canto de um quadrado) e o ângulo agudo (qualquer ângulo menor que o reto). Pela definição, o reto vem antes, é o padrão; mas o reto pode ser dividido em agudos, então, como peça componente, o agudo vem antes. 'Antes' significa coisas diferentes conforme o ponto de vista, e é essa confusão que Aristóteles quer expor.
De que modo, então, o 1 é o ponto de partida? Porque não é divisível, dizem eles. Mas tanto o universal quanto a parte ou o elemento são indivisíveis. Só que eles são pontos de partida de modos diferentes, um na definição e o outro no tempo. Em qual dos dois sentidos, então, o 1 é o ponto de partida? Como já dissemos, pensa-se que o ângulo reto vem antes do agudo, e o agudo antes do reto, e cada um deles é um. Por isso eles fazem do 1 o ponto de partida nos dois sentidos. Mas isso é impossível.
O ponto-chave da crítica: 'ser o ponto de partida' tem dois sentidos, na definição (a forma, o que é mais fundamental no entendimento) e no tempo (o material que existe primeiro). Os platônicos querem que o 1 seja o ponto de partida nos dois sentidos ao mesmo tempo, e Aristóteles diz que isso é impossível: uma mesma coisa não pode ser ao mesmo tempo a forma e o pedaço material.
Pois o universal é um como forma ou substância, enquanto o elemento é um como parte ou como matéria. Cada um dos dois é, em certo sentido, um. Na verdade, cada uma das duas unidades existe em potência (ao menos se o número é uma unidade e não como um monte, isto é, se números diferentes são feitos de unidades diferentes, como eles dizem), mas não existe em plena realidade. A causa do erro em que caíram é que conduziam sua investigação ao mesmo tempo do ponto de vista da matemática e do ponto de vista das definições universais.
Aqui está o diagnóstico do erro, na visão de Aristóteles. Os platônicos misturaram dois pontos de vista que deveriam ficar separados: o da matemática (onde a unidade é o tijolinho material que monta o número) e o das definições universais (onde a unidade é a forma comum a todos os números). Ao confundir os dois, deram à unidade papéis contraditórios.'Em potência' e 'em ato' são uma distinção central de Aristóteles: em potência é o que algo pode vir a ser, em ato é o que já é de fato. Ele diz que as unidades existem só em potência dentro do número, não como coisas plenamente reais e separadas.
Por causa do primeiro ponto de vista, eles trataram a unidade, seu primeiro princípio, como um ponto, pois a unidade é um ponto sem posição. Montaram as coisas a partir das menores partes, como alguns outros também já fizeram. Por isso a unidade vira a matéria dos números e, ao mesmo tempo, vem antes do 2; e, de novo, vem depois, quando o 2 é tratado como um todo, uma unidade e uma forma. Por causa do segundo ponto de vista, como buscavam o universal, eles trataram a unidade que se pode afirmar de um número como sendo, também nesse sentido, uma parte do número. Mas essas duas características não podem pertencer ao mesmo tempo à mesma coisa.
Desdobrando o erro: ao pensar como matemáticos, eles trataram a unidade como um ponto, uma posição mínima sem tamanho, e montaram tudo a partir desses mínimos (como já faziam os atomistas Leucipo e Demócrito com seus átomos). Ao pensar como definidores do universal, trataram a mesma unidade como a forma comum a vários números. Esses dois papéis não cabem na mesma coisa ao mesmo tempo.
Se o 1 em si tem de ser uma só unidade (pois não difere em nada dos outros uns, a não ser por ser o ponto de partida), e se o 2 é divisível mas a unidade não é, então a unidade tem de ser mais parecida com o 1 em si do que o 2 é. E se a unidade é mais parecida com ele, ela tem de ser mais parecida com o 1 em si do que com o 2; portanto, cada uma das unidades que estão no 2 tem de vir antes do 2. Mas eles negam isso, pois geram o 2 primeiro. Por fim, se o 2 em si é uma unidade e o 3 em si também é uma unidade, os dois juntos formam um 2. A partir de quê, então, esse 2 é produzido?
O verso final aperta o cerco com um último paradoxo. Se a unidade é indivisível e mais parecida com o '1 em si' do que o 2 é, então as unidades deveriam vir antes do 2, mas os platônicos geram o 2 primeiro. E uma pergunta sem resposta dentro do sistema deles: se o 2 e o 3 são cada um uma unidade, juntá-los dá um par, então de onde sai esse novo 2? A teoria não consegue explicar de onde os números vêm.