Metafísica - Livro XIII 7

Livro XIII (Mi): crítica aos números e objetos matemáticos como substâncias, e às Formas

Crítica detalhada da tese de que os números são feitos de unidades que não se combinam entre si

Comecemos perguntando se as unidades podem ou não ser combinadas umas com as outras (se são associáveis ou não associáveis) e, caso não sejam, de qual dos dois modos que distinguimos isso acontece. É possível que qualquer unidade não se combine com nenhuma outra; é possível que as unidades de um mesmo número ideal (de um número que seria a própria Forma) não se combinem com as unidades do mesmo número; e, de modo geral, é possível que as unidades de cada número ideal não se combinem com as unidades dos outros números ideais.
Aristóteles está atacando a teoria dos platônicos de que os números são as verdadeiras substâncias do mundo. A pergunta-chave do capítulo é: as unidades que formam um número (os "uns" dentro do 5, por exemplo) são todas iguais e intercambiáveis, ou cada uma é única e diferente das outras? "Associável" aqui significa que uma unidade pode ser somada e trocada por outra; "não associável" significa que cada unidade é especial e não pode ser combinada com as de outro número.Ele monta três hipóteses que vai testar uma a uma no capítulo: (1) todas as unidades são iguais e combináveis; (2) nenhuma unidade combina com nenhuma outra; (3) só combinam as unidades de um mesmo número. A estratégia é mostrar que toda hipótese leva a um absurdo.
Vejamos a primeira hipótese. Se todas as unidades podem ser combinadas e não diferem entre si, então o que obtemos é apenas o número da matemática, um único tipo de número, e as Ideias não podem ser os números. Pois que tipo de número seria o homem-em-si, ou o animal-em-si, ou qualquer outra Forma? Há uma só Ideia de cada coisa: uma do homem-em-si e outra do animal-em-si. Mas os números semelhantes e indistintos são infinitos, de modo que um certo número 3 não seria o homem-em-si mais do que qualquer outro 3. E se as Ideias não são números, então não podem existir de modo nenhum. Pois de que princípios viriam as Ideias? É o número que vem do 1 e da dupla indefinida (a díade, que é a palavra grega para par ou dois), e diz-se que os princípios e elementos são princípios e elementos do número. Logo, as Ideias não podem ser colocadas nem antes nem depois dos números.
Primeira hipótese. Se todas as unidades fossem iguais, o número 3 seria sempre o mesmo 3 em qualquer lugar, como na matemática comum. Mas então não dá para dizer que o número 3 é a Forma do homem e não de outra coisa: qualquer 3 seria tão "homem" quanto outro 3. Isso destrói a ideia platônica de que cada número É uma Forma única.A "dupla indefinida" (díade) é, para Platão e seus seguidores, um dos dois princípios geradores de todos os números, ao lado do 1. Funciona como uma espécie de matéria-prima que multiplica; o 1 dá o limite e a unidade. Aristóteles vai usar contra eles essa própria máquina de gerar números.
Vejamos a segunda hipótese. Se as unidades não se combinam, e não se combinam no sentido de que nenhuma se combina com nenhuma outra, então esse tipo de número não pode ser o número da matemática, pois o número da matemática é feito de unidades que não diferem entre si, e as verdades que se provam dele combinam com esse caráter. E também não pode ser o número ideal. Pois o 2 não surgiria de imediato do 1 e da dupla indefinida, seguido pelos números seguintes, como eles dizem ao contar 2, 3, 4. Afinal, as unidades do número ideal são geradas todas ao mesmo tempo, seja a partir de desiguais que depois se igualam (como disse o primeiro a defender essa teoria), seja de outro modo.
Segunda hipótese: nenhuma unidade combina com nenhuma outra. Aristóteles mostra que isso não pode ser nem o número comum da matemática (que exige unidades iguais e somáveis) nem o número ideal dos platônicos. "Gerados ao mesmo tempo" quer dizer que, nessa teoria, todas as unidades de um número nascem juntas, e não uma após a outra como quando você conta."O primeiro a defender essa teoria" é uma referência velada a Platão e seus discípulos imediatos, como Espeusipo e Xenócrates, que ensinavam essa doutrina oralmente na Academia. A ideia de gerar os números "a partir de desiguais que se igualam" é jargão dessa escola.
Pois se uma unidade fosse anterior a outra, seria também anterior ao 2 formado por elas. Quando uma coisa é anterior e outra posterior, o resultado das duas é anterior a uma e posterior à outra. Além disso, se o 1-em-si vem primeiro, e depois há um certo 1 que é o primeiro entre os outros e vem logo após o 1-em-si, e ainda um terceiro que vem logo após o segundo e em segundo lugar após o primeiro, então as unidades teriam de ser anteriores aos números pelos quais elas são nomeadas quando contamos. Por exemplo, haveria uma terceira unidade dentro do 2 antes mesmo de o 3 existir, e uma quarta e uma quinta dentro do 3 antes de os números 4 e 5 existirem.
Aristóteles aponta uma contradição interna. Se as unidades fossem ordenadas (uma primeira, uma segunda, uma terceira), elas existiriam antes dos próprios números que ajudam a formar, o que inverte a ordem natural. "Anterior" e "posterior" aqui não são tempo, mas ordem de prioridade lógica: o que vem antes na escala do ser.
Ora, nenhum desses pensadores chegou a dizer que as unidades não se combinam desse modo, mas, segundo os princípios deles, é razoável que assim fosse, ainda que na verdade isso seja impossível. Pois é razoável que as unidades tenham anterioridade e posterioridade, se há uma primeira unidade ou um primeiro 1; e é razoável que os 2 também tenham, se há um primeiro 2. Afinal, depois do primeiro é razoável e necessário que haja um segundo, e se há um segundo, um terceiro, e assim por diante.
Mas dizer as duas coisas ao mesmo tempo, ou seja, que uma unidade é a primeira e outra unidade é a segunda depois do 1 ideal, e ao mesmo tempo que um 2 é o primeiro depois dele, isso é impossível. Eles constroem uma primeira unidade ou um primeiro 1, mas não uma segunda e uma terceira; e um primeiro 2, mas não um segundo e um terceiro.
O ponto é uma incoerência na própria doutrina platônica: eles afirmam que existe um primeiro 1 e um primeiro 2, mas se recusam a falar de um segundo e um terceiro 1, ou de um segundo 2. Aristóteles diz que essa escolha é arbitrária: ou você admite a sequência inteira, ou nenhuma.
Fica claro também que, se todas as unidades não se combinam, não pode haver um 2-em-si e um 3-em-si, e o mesmo vale para os outros números. Pois, sejam as unidades indistintas ou diferentes umas das outras, o número tem de ser contado por adição: o 2 acrescentando outro 1 ao um, o 3 acrescentando outro 1 ao dois, e assim por diante. Sendo assim, os números não podem ser gerados como eles os geram, a partir do 2 e do 1. Pois o 2 se torna parte do 3, e o 3 parte do 4, e o mesmo acontece com os números seguintes. Mas eles dizem que o 4 veio do primeiro 2 e da dupla indefinida, o que produz dois 2 diferentes do 2-em-si. Se não fosse assim, o 2-em-si seria parte do 4 e outro 2 seria acrescentado. E do mesmo modo o 2 seria feito do 1-em-si e de outro 1. Mas, se for assim, o outro elemento não pode ser uma dupla indefinida, pois ela gera uma só unidade, e não, como faz a dupla indefinida, um 2 definido.
Aqui está o golpe central. Contar é somar: você faz o 3 acrescentando 1 ao 2. Logo o 2 está "dentro" do 3 como parte dele. Mas os platônicos geram o 4 não a partir do 3, e sim multiplicando o 2 pela dupla indefinida, o que produziria dois 2 estranhos, diferentes do verdadeiro 2-em-si. Aristóteles mostra que os dois métodos não batem."2-em-si", "1-em-si": o sufixo "em-si" marca o número como Forma ideal, a entidade perfeita e única que os platônicos colocam acima dos números comuns. É a diferença entre o conceito puro de Dois e os vários pares concretos.
Além disso, fora o 3-em-si e o 2-em-si, como pode haver outros 3 e outros 2? E como eles seriam feitos de unidades anteriores e posteriores? Tudo isso é absurdo e inventado, e não pode haver um primeiro 2 e em seguida um 3-em-si. No entanto, teria de haver, se o 1 e a dupla indefinida fossem os elementos. Mas, se os resultados são impossíveis, é também impossível que esses sejam os princípios que geram os números.
Aristóteles fecha o exame da hipótese com um dilema: a teoria exige que existam o 2-em-si e o 3-em-si como Formas, mas, pela própria mecânica de geração, surgiriam outros 2 e outros 3 que não se encaixam. Como os resultados são impossíveis, ele conclui que o 1 e a dupla indefinida não podem ser os princípios geradores.
Se as unidades, então, diferem umas das outras, esses resultados e outros parecidos se seguem por necessidade. Vejamos agora a terceira hipótese: as unidades de números diferentes diferem entre si, mas as unidades de um mesmo número não diferem umas das outras. Mesmo assim, as dificuldades que se seguem não são menores. Por exemplo, no 10-em-si há dez unidades, e o 10 é feito tanto delas quanto de dois 5. Mas, como o 10-em-si não é um número qualquer, nem é feito de quaisquer 5 ou de quaisquer unidades, as unidades dentro desse 10 têm de diferir. Pois, se elas não diferem, também os dois 5 que formam o 10 não diferem; mas, como esses 5 diferem, as unidades também diferem.
Início da terceira hipótese: as unidades de números diferentes diferem entre si, mas dentro de um mesmo número são iguais. Ele usa o exemplo do 10, que pode ser visto como dois 5. Se o 10 é uma Forma especial, seus 5 também têm de ser especiais, e então as unidades dentro dele também têm de diferir, o que já contradiz a hipótese de que as unidades de um mesmo número são iguais.
Mas, se as unidades diferem, haverá no 10 apenas esses dois 5 e mais nenhum, ou haverá outros? Se não houver outros, isso é estranho; e se houver, que tipo de 10 seria feito deles? Pois não há outro 10 dentro do 10 a não ser o próprio 10. E ainda: pela visão deles, é necessário que o 4 não seja feito de quaisquer 2, pois, como eles dizem, a dupla indefinida recebeu o 2 definido e fez dois 2, já que a natureza dela era duplicar o que recebia.
Aristóteles aperta o exemplo: se as unidades do 10 são todas diferentes, quantos pares de 5 cabem ali? Qualquer resposta leva a um beco sem saída. E lembra a regra deles de que a dupla indefinida "duplica" o que recebe: dado o 2, ela produz dois 2; mas isso impede que o 4 seja formado de quaisquer 2, gerando mais inconsistência.
Além disso, quanto ao 2 ser uma coisa à parte das suas duas unidades, e o 3 uma coisa à parte das suas três unidades, como isso é possível? Ou uma coisa participa da outra, como o homem pálido difere de pálido e de homem (pois participa dos dois), ou uma é uma diferença da outra, como homem difere de animal e de bípede (de dois pés).
Nova objeção: se o número 2 é uma coisa à parte das suas duas unidades, como ele se relaciona com elas? Aristóteles oferece os dois únicos modos que conhece de uma coisa ser distinta de outra. "Participar" é o vínculo em que algo compartilha de uma qualidade, como "homem pálido" partilha tanto de "homem" quanto de "pálido". "Diferença" (differentia) é a marca que separa uma espécie da outra, como "de dois pés" separa o homem dentro do gênero animal. Nenhum dos dois serve para o número, sugere ele.
Além disso, algumas coisas são uma só por contato, outras por mistura, outras pela posição; e nada disso pode pertencer às unidades de que o 2 ou o 3 é feito. Assim como dois homens não formam uma unidade fora deles dois, o mesmo tem de valer para as unidades. O fato de elas serem indivisíveis não faz diferença nenhuma, pois os pontos também são indivisíveis, e mesmo assim um par de pontos não é nada à parte dos dois pontos.
Aristóteles lista os modos pelos quais coisas separadas viram uma só: tocando-se, misturando-se ou ficando juntas numa posição. Nenhum se aplica a unidades abstratas. A comparação é direta: dois homens lado a lado não criam uma terceira coisa "a dupla" que exista por fora deles; do mesmo modo, duas unidades não criam um 2 separado. E não adianta dizer que as unidades são indivisíveis, porque os pontos da geometria também são, e um par de pontos não é nada além dos dois pontos.
Mas não podemos esquecer outra consequência: segue-se que há um 2 anterior e um 2 posterior, e o mesmo com os outros números. Suponhamos que os 2 dentro do 4 sejam simultâneos; ainda assim, eles são anteriores aos 2 dentro do 8 e, como o 2 os gerou, eles geraram os 4 dentro do 8-em-si. Portanto, se o primeiro 2 é uma Ideia, esses 2 também serão Ideias de algum tipo. O mesmo raciocínio vale para as unidades, pois as unidades do primeiro 2 geram as quatro unidades do 4, de modo que todas as unidades acabam virando Ideias, e uma Ideia ficaria composta de Ideias. Fica claro, então, que também aquelas coisas das quais essas vêm a ser Ideias serão compostas: poderíamos dizer, por exemplo, que os animais são compostos de animais, se houver Ideias deles.
Consequência embaraçosa para os platônicos: se cada 2 é uma Forma, então os 2 que compõem o 4, e os 2 que compõem o 8, seriam todos Formas distintas, e até as unidades virariam Formas. O resultado é uma Forma feita de Formas, e Formas dentro de Formas sem fim. O exemplo dos "animais compostos de animais" mostra o absurdo: a Forma deixa de ser aquela unidade simples e única que os platônicos prometiam.
De modo geral, diferenciar as unidades de qualquer maneira é um absurdo e uma invenção; e por invenção quero dizer uma afirmação forçada feita só para encaixar numa hipótese. Pois nem na quantidade nem na qualidade vemos uma unidade diferir de outra unidade. O número tem de ser igual ou desigual, todo número, mas especialmente o que é feito de unidades abstratas. Assim, se um número não é nem maior nem menor que outro, ele é igual a ele; e, tratando-se de números, aquilo que é igual e em nada difere nós tomamos como sendo a mesma coisa. Se não fosse assim, nem mesmo os dois 5 dentro do 10-em-si seriam indistintos, embora sejam iguais; pois que razão poderia dar quem afirma que eles não diferem?
Aristóteles dá a definição dele de "invenção" (ou ficção): uma afirmação forçada criada só para salvar uma teoria. O argumento de fundo é matemático e simples: unidades não têm como diferir em quantidade nem em qualidade, são só "uns". Se dois números não são nem maior nem menor um que o outro, são iguais; e em números, iguais e indistintos é o mesmo que idênticos. Logo, não faz sentido inventar unidades "diferentes".
Além disso, se toda unidade somada a outra unidade faz dois, então uma unidade tirada do 2-em-si e uma tirada do 3-em-si fariam um 2. Ora, esse 2 seria feito de unidades diferentes; e ele seria anterior ou posterior ao 3? Parece antes que tem de ser anterior, pois uma das unidades é simultânea ao 3 e a outra é simultânea ao 2. Nós, de nossa parte, supomos que, em geral, 1 e 1, sejam as coisas iguais ou desiguais, fazem 2, por exemplo o bom e o mau, ou um homem e um cavalo. Mas os que defendem essas opiniões dizem que nem mesmo duas unidades fazem 2.
Aristóteles expõe o paradoxo a que a teoria deles chega. Para qualquer pessoa normal, 1 mais 1 é 2, não importa o que sejam as coisas (um homem e um cavalo, o bem e o mal). Mas os platônicos, ao insistirem que cada unidade é única e não combina com outra, acabam tendo de negar que duas unidades façam 2, o que é claramente absurdo.
Se o número do 3-em-si não é maior que o do 2, isso surpreende; e se é maior, então fica claro que há nele também um número igual ao 2, de modo que esse número não difere do 2-em-si. Mas isso não é possível, se há um primeiro número e um segundo número.
Mais uma contradição: ou o número escondido dentro do 3-em-si não é maior que o do 2 (o que seria estranho), ou é maior e então contém um pedaço igual ao 2, e esse pedaço se confundiria com o 2-em-si. Isso quebra a exigência deles de que cada número ideal seja único e ordenado numa sequência fixa.
As Ideias também não serão números. Pois neste ponto particular têm razão os que afirmam que as unidades têm de ser diferentes, se é para existirem Ideias, como já dissemos antes. Afinal, a Forma é única; mas, se as unidades não são diferentes, então os 2 e os 3 também não serão diferentes. É por isso também que eles têm de dizer que, quando contamos assim, 1, 2, não avançamos acrescentando ao número dado. Pois, se acrescentássemos, os números não seriam gerados pela dupla indefinida, nem um número poderia ser uma Ideia, já que então uma Ideia estaria dentro de outra, e todas as Formas seriam partes de uma só Forma.
Aristóteles reconhece, com ironia, que os platônicos acertam num ponto: SE as Formas existem como números, então as unidades de fato precisariam ser diferentes, porque cada Forma é única. Por isso eles são obrigados a dizer que contar "1, 2" não é somar, senão um número estaria dentro do outro e todas as Formas seriam pedaços de uma só Forma. Ele está mostrando que a posição deles é coerente por dentro, mas só ao custo de negar como contar funciona.
Assim, em vista da hipótese deles, as afirmações estão certas, mas no conjunto estão erradas; pois a visão deles é muito destrutiva, já que eles próprios admitem que esta questão oferece alguma dificuldade: quando contamos e dizemos 1, 2, 3, estamos contando por adição ou por porções separadas? Ora, nós fazemos as duas coisas, e por isso é absurdo deduzir, a partir desse pequeno problema, uma diferença tão grande na essência das coisas.
Conclusão do capítulo: a doutrina é "coerente em vista da própria hipótese, mas errada no conjunto", ou seja, internamente arrumada, mas falsa na raiz. Aristóteles desmonta a dramatização do problema: contamos ora por adição (somando), ora por porções separadas (agrupando), e fazemos as duas coisas sem dificuldade. Tirar daí uma diferença enorme na natureza das coisas, como os platônicos fazem, é exagero injustificado.