Metafísica - Livro XIII 3

Livro XIII (Mi): crítica aos números e objetos matemáticos como substâncias, e às Formas

Como existem os objetos da matemática: por abstração, e não como entidades separadas; e o belo na matemática

As verdades gerais da matemática não tratam de objetos que existam à parte, separados das grandezas que ocupam espaço e dos números. Elas tratam justamente dessas grandezas e desses números, mas não enquanto têm tamanho ou enquanto podem ser divididos, e sim sob outro aspecto. Da mesma forma, é possível haver afirmações e demonstrações sobre as grandezas que percebemos pelos sentidos, não enquanto elas são percebidas pelos sentidos, mas enquanto têm certas qualidades bem definidas.
Aqui está a ideia central do capítulo. Aristóteles vai explicar COMO os números e as figuras existem. Resposta: não como coisas que flutuam à parte, num mundo só delas, mas como aspectos das coisas comuns. A palavra 'grandeza' significa qualquer coisa que tem tamanho e pode ser medida (uma linha, uma área, um volume).O segredo do capítulo é a expressão 'enquanto', que se repete o tempo todo. Significa 'considerado sob certo aspecto'. A mesma coisa pode ser olhada por vários ângulos, e cada ciência olha por um deles. A matemática olha as coisas reais apenas enquanto têm quantidade e figura, e ignora todo o resto. Isso é o que se chama de abstração: pôr de lado mentalmente o que não interessa naquele estudo.
Veja um caso parecido. Existem muitas afirmações sobre as coisas consideradas apenas como estando em movimento, deixando de lado o que cada uma delas é e os traços que por acaso ela tem. Disso não decorre que precise existir um móvel separado das coisas sensíveis, nem uma entidade móvel distinta dentro delas. Do mesmo modo, sobre as coisas que se movem haverá afirmações e ciências que as tratam não enquanto se movem, mas apenas enquanto são corpos; ou apenas enquanto são superfícies; ou apenas enquanto são linhas; ou enquanto são divisíveis; ou enquanto são indivisíveis com posição no espaço; ou apenas enquanto são indivisíveis.
Aristóteles dá um exemplo para tornar a ideia palpável. Quando você estuda algo só 'enquanto está em movimento', deixa de lado o que aquilo é (uma pedra, um animal) e estuda só o movimento. E ninguém precisa imaginar que exista um 'Movimento em si', solto e separado das coisas que se movem. Do mesmo jeito, não é preciso supor números ou figuras separados: basta olhar a mesma coisa concreta sob o aspecto da quantidade.'Indivisíveis com posição no espaço' é a definição grega de ponto: algo que não tem partes mas ocupa um lugar. 'Indivisíveis' sem posição seriam as unidades dos números. A lista mostra a escala de abstração: corpo (três dimensões), superfície (duas), linha (uma), ponto e unidade.
Portanto, é verdade dizer, sem nenhuma ressalva, que existem não só as coisas que podem ser separadas, mas também as que não podem ser separadas. Por exemplo, é verdade que existem coisas em movimento. Pelo mesmo motivo, é verdade dizer, sem ressalva, que os objetos da matemática existem, e que existem com as características que os matemáticos lhes atribuem.
O ponto-chave contra Platão. Existir não é só 'existir separado'. Coisas que não podem ser separadas (como o movimento, que sempre é movimento de algo) também existem de verdade. Logo, dizer que os números existem não obriga a colocá-los num mundo à parte: eles existem do jeito que os matemáticos os tratam, ou seja, como aspectos das coisas.
Pense também nas outras ciências. É verdade dizer, sem ressalva, que cada uma trata de tal e tal assunto, e não daquilo que por acaso acompanha esse assunto. Por exemplo, a medicina tem a saúde como seu objeto. Se a coisa saudável também é pálida, mesmo assim a medicina não trata do pálido: ela trata daquilo que é o objeto próprio dela, ou seja, da saúde, considerando a coisa enquanto saudável. Se trata do homem, considera-o enquanto homem.
Uma comparação com a medicina para fixar o que é 'estudar uma coisa sob certo aspecto'. Se uma pessoa saudável por acaso também é pálida, a medicina não vira ciência da palidez. Ela estuda a pessoa só enquanto saudável. 'Por acaso' aqui traduz o que acompanha a coisa sem fazer parte do que ela é: a palidez acompanha a pessoa, mas não é o objeto do médico.
O mesmo vale para a geometria. Se acontece de seus objetos serem coisas que percebemos pelos sentidos, ela não os trata enquanto sensíveis. Por isso as ciências matemáticas não se tornam, por causa disso, ciências das coisas sensíveis. Mas também não são ciências de outras coisas separadas das sensíveis.
Aplicação à geometria. Os triângulos e círculos que ela estuda calham de aparecer em coisas que vemos e tocamos, mas a geometria não os estuda enquanto coisas visíveis e tocáveis: estuda só a forma. Isso resolve um falso dilema. A matemática não é nem ciência das coisas materiais (porque ignora a matéria delas), nem ciência de objetos celestes separados (porque esses não existem). Ela é ciência das coisas reais vistas por um ângulo só.
Muitas propriedades pertencem às coisas pela própria natureza delas, na medida em que cada coisa tem tal ou tal característica. Por exemplo, há traços que são próprios do animal enquanto fêmea ou enquanto macho, embora não exista nenhuma 'fêmea' nem nenhum 'macho' separados dos animais. Da mesma forma, há traços que pertencem às coisas simplesmente enquanto são comprimentos ou enquanto são superfícies.
Aristóteles reforça com um exemplo do dia a dia. Há propriedades que pertencem ao animal só enquanto fêmea ou só enquanto macho, e ninguém por isso inventa uma 'Fêmea em si' existindo solta no mundo. Da mesma maneira, há propriedades que pertencem às coisas só enquanto são comprimentos ou superfícies, sem que exista um 'Comprimento em si' separado. O paralelo desarma a teoria das Formas.
E quanto mais lidamos com coisas que vêm primeiro na definição e que são mais simples, mais o nosso conhecimento ganha em exatidão, ou seja, em simplicidade. Por isso uma ciência que deixa de lado o tamanho no espaço é mais precisa do que uma que o leva em conta. E a ciência mais precisa de todas é a que deixa de lado o movimento. Se ela leva o movimento em conta, é mais precisa quando trata do movimento mais básico, pois esse é o mais simples; e, entre os movimentos, o uniforme é a forma mais simples.
Por que a matemática é tão exata? Porque quanto menos traços você considera, mais simples e mais preciso fica o estudo. Uma ciência que ignora o tamanho é mais exata que uma que o leva em conta; e a mais exata de todas é a que também ignora o movimento. 'Vir primeiro na definição' quer dizer ser mais básico, aquilo que se pode entender sem precisar de mais nada antes.
O mesmo se pode dizer da harmonia e da óptica. Nenhuma das duas estuda seu objeto enquanto visão ou enquanto som: estudam-no enquanto linhas e números, ainda que a visão e o som sejam o que esses números e linhas medem. E a mecânica procede da mesma maneira.
A harmonia (o estudo matemático dos sons musicais) e a óptica (o estudo da visão por meio de raios) confirmam a regra. Elas não estudam o som ou a luz em si, mas as proporções numéricas e as linhas por trás deles. A mecânica, que estuda máquinas e forças, faz o mesmo. Todas reduzem fenômenos físicos a relações de número e figura.
Portanto, se nós isolamos uma característica das outras características que a acompanham, e investigamos essa característica sozinha, não erramos por causa disso. É como quem desenha uma linha no chão e a chama de um pé de comprimento, mesmo que ela não tenha exatamente um pé: o erro não está nas premissas do raciocínio.
Resposta a uma objeção: separar com o pensamento o que na realidade não está separado não é mentir nem errar. A comparação é com quem desenha uma linha no chão e a chama de um pé de comprimento para fazer uma demonstração, mesmo que ela não meça exatamente isso. A pequena imprecisão do desenho não contamina o raciocínio, porque a prova não depende dela. Abstrair é uma simplificação legítima, não uma falsificação.
A melhor maneira de investigar cada questão é esta: separar com o pensamento aquilo que na verdade não está separado, como fazem quem estuda os números e quem estuda a geometria. Um homem, enquanto homem, é uma só coisa indivisível. Quem estuda os números toma o homem como uma só coisa indivisível, e então examina se algum traço pertence a ele enquanto indivisível.
Aristóteles descreve o método das duas matemáticas da época. Quem estuda os números (a aritmética) toma o homem como uma unidade indivisível, um '1', e investiga o que vale para ele enquanto unidade, ignorando tudo mais. É separar de propósito, com a mente, o que de fato vem junto.
Já quem estuda a geometria não o trata nem enquanto homem nem enquanto indivisível, mas como um sólido (um corpo de três dimensões). Pois as propriedades que pertenceriam a ele mesmo que por acaso ele não fosse indivisível podem pertencer-lhe também à parte desses outros traços. Por isso quem estuda a geometria fala corretamente: trata de coisas que existem de fato, e os objetos de que fala existem mesmo. O ser tem duas formas: uma coisa existe não só em plena realidade (em ato), mas também enquanto matéria.
Quem estuda a geometria, por sua vez, não olha o homem como pessoa nem como unidade, mas como um sólido, isto é, um corpo com três dimensões, e estuda só as propriedades dessa forma. A frase final é a tese do capítulo em poucas palavras: os geômetras 'falam corretamente, tratam de coisas que existem'. E vem a razão de fundo: o ser tem duas formas. Uma coisa existe 'em ato' (plenamente realizada, aquilo que ela efetivamente é) e existe também 'enquanto matéria' (como possibilidade de ser considerada de outros modos). É no segundo sentido que os objetos da matemática existem dentro das coisas, sem precisar de mundo próprio.
O bom e o belo são coisas diferentes. O bom está sempre ligado à ação, ao agir, enquanto o belo se encontra também em coisas paradas, sem movimento. Por isso erram os que dizem que as ciências matemáticas nada falam do belo nem do bom.
Muda o assunto: agora o belo. Aristóteles primeiro distingue o bom do belo. O bom está sempre ligado à ação, ao agir bem, então só aparece onde há quem aja. O belo é mais amplo: aparece também em coisas paradas, sem ação nenhuma, como uma figura geométrica. Com isso ele já prepara o terreno para mostrar que a matemática, que trata de coisas imóveis, tem o que dizer sobre o belo.
Na verdade, essas ciências falam e provam muita coisa a respeito do belo e do bom. Elas podem não citá-los pelo nome, mas demonstram efeitos e propriedades que são justamente os do belo e do bom. Não é correto, então, dizer que elas nada nos dizem sobre o assunto.
Resposta direta a quem acusava a matemática de ser fria e nada ter a ver com beleza. Aristóteles diz que ela prova muita coisa sobre o belo, mesmo sem usar a palavra 'belo'. Ao demonstrar uma proporção ou uma simetria, ela está demonstrando o belo na prática, ainda que não o chame assim.
As principais formas do belo são a ordem, a proporção (a simetria) e a delimitação clara, e são justamente essas formas que as ciências matemáticas demonstram de modo especial. E como essas formas, por exemplo a ordem e a delimitação, são claramente causas de muitas coisas, fica evidente que essas ciências precisam tratar também desse tipo de princípio que age como causa, ou seja, do belo, entendendo-o como uma causa em algum sentido. Mas falaremos disso com mais clareza em outro lugar.
A definição de beleza que Aristóteles oferece, e que influenciou toda a estética ocidental: as principais formas do belo são a ordem, a proporção (chamada de simetria) e a delimitação clara, ter contornos bem definidos. Justamente o que a matemática demonstra melhor que tudo.O fecho liga isso ao grande tema da Metafísica, as causas. Ordem e proporção são causas de muitas coisas, então o belo funciona como uma espécie de causa, e a matemática acaba tocando nesse princípio. 'Falaremos disso em outro lugar' é o jeito típico de Aristóteles de adiar um tema para outro tratado.